Vediamo di dare una dimostrazione di quanto sostengo:
prendiamo i due casi pratici con rapporti di medesimo sviluppo metrico, cioè 42-21 e 52-26. Andrò a dimostrare che, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore (non inferiore come da mio precedente messaggio...), cioè attriti meccanici della catena sugli ingranaggi, che sono diversi nei due casi, danno lo stesso risultato in termini di resa della pedalata.
Immaginiamo che la pedivella (P = 0,17 m) lunga 170mm sia caricata con la forza F1 = 490N (cioè 50kg per l'accelerazione gravitazionale, giusto per approssimare con un valore abbastanza vicino ad un caso pratico reale).
La coppia trasmessa sarà P * F1 = 83.3 Nm
Questa coppia sarà trasmessa (trascurando il rendimento necessariamente minore di 1) alla corona, che è di 52 e 42 denti rispettivamente, che ha cioè raggio di 0,105 e 0,0849 metri rispettivamente.
F2, cioè la tensione della catena, cioè la forza trasmessa al pignone sarà nei due casi (ricordando che F2 = M / Rcorona):
F2' = 793N
F2''= 981N
La fisica sembra qui dar ragione a RoBart: la corona da 42 permette di trasmettere una forza di circa il 25% maggiore. Ma il 25% è proprio la percentuale di denti in più che ha la corona da 52 rispetto a quella da 42.
A questo punto RoBart dovrebbe concludere che una corona da 20 sarebbe ancor più redditizia. Avete mai visto una bici da corsa con una corona da 20?
No, perchè abbiamo dimenticato che dobbiamo analizzare cosa succede al pignone, dove c'è un gioco di leve uguale e contrario...
La catena trasmette, tramite la sua tensione, la forza F2 al pignone, che muove poi la ruota R2 = 0,68m
Dunque, i pignoni da 26 e da 21 denti hanno rispettivamente (fidatevi ancora dei miei calcoli, che vi risparmio) 0,0525 e 0,0424 m (esattamente metà delle corone, no?)
Il 26 è soggetto alla coppia F2' * R26 = 793 * 0.0525 = 41,65Nm (esattamente metà della corona)
Il 21 è soggetto alla coppia F2'' * R21 = 981 * 0,0424 = 41,65Nm
Questa coppia viene poi trasmessa alla ruota, ma non occorre procedere: sono uguali.
L'apparente guadagno che si ha sulla guarnitura lo si perde allo stesso modo sul pignone. E' assurdo analizzare il solo sistema pedivella-corona come leva, in quanto c'è un'altra leva dietro, che è appunto uguale e contraria come ho dimostrato.
L'unica pecca della mia dimostrazione è il fatto di aver assunto come trascurabili gli attriti, che sono inferiori con gli ingranaggi più grandi (intuitivamente sappiamo tutti che l'11 è il pignone che si usura prima, no?). A mio parere l'ordine di grandezza di questa differenza negli attriti è trascurabile rispetto alla forze in gioco, fatto che mi è stato confermato anche da qualche professore universitario di fisica.